背包问题1
背包问题（Knapsack problem）是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。
背包问题的一个例子：应该选择哪些盒子，才能使价格尽可能地大，而保持重量小于或等于15 kg？
相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。
也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V。
定义
我们有n种物品，物品j的重量为wj，价格为pj。
我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。背包所能承受的最大重量为W。
如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。
可以用公式表示为：
最大化
受限于
如果限定物品j最多只能选择bj个，则问题称为有界背包问题。
可以用公式表示为：
最大化
受限于
如果不限定每种物品的数量，则问题称为无界背包问题。
各类复杂的背包问题总可以变换为简单的0-1背包问题进行求解。
计算复杂度
在计算机科学领域，人们对背包问题感兴趣的原因在于：
利用动态规划，背包问题存在一个伪多项式时间算法
把上面算法作为子程序，背包问题存在完全逼近多项式时间方案
作为NP完全问题，背包问题没有一种既准确又快速（多项式时间）的算法
动态规划解法
无界背包问题
如果重量w1, …, wn和W都是非负数，那么用动态规划，可以用伪多项式时间解决背包问题。下面描述了无界背包问题的解法。
简便起见，我们假定重量都是正数（wj > 0）。在总重量不超过W的前提下，我们希望总价格最高。对于Y ≤ W，我们将在总重量不超过Y的前提下，总价格所能达到的最高值定义为A(Y)。A(W)即为问题的答案。
显然，A(Y)满足：
A(0) = 0
A(Y) = max { A(Y - 1), { pj + A(Y - wj) | wj ≤ Y } }
其中，pj为第j种物品的价格。
关于第二个公式的一个解释：总重量为Y时背包的最高价值可能有两种情况，第一种是该重量无法被完全填满，这对应于表达式A(Y - 1)。第二种是刚好填满，这对应于一个包含一系列刚好填满的可能性的集合，其中的可能性是指当最后放进包中的物品恰好是重量为wj的物品时背包填满并达到最高价值。而这时的背包价值等于重量为wj物品的价值和当没有放入该物品时背包的最高价值之和。故归纳为表达式pj + A(Y - wj)。最后把所有上述情况中背包价值的最大值求出就得到了A(Y)的值。
如果总重量为0，总价值也为0。然后依次计算A(0), A(1), …, A(W)，并把每一步骤的结果存入表中供后续步骤使用，完成这些步骤后A(W)即为最终结果。由于每次计算A(Y)都需要检查n种物品，并且需要计算W个A(Y)值，因此动态规划解法的时间复杂度为O(nW)。如果把w1, …, wn, W都除以它们的最大公因数，算法的时间将得到很大的提升。
尽管背包问题的时间复杂度为O(nW)，但它仍然是一个NP完全问题。这是因为W同问题的输入大小并不成线性关系。原因在于问题的输入大小仅仅取决于表达输入所需的比特数。事实上，$ {\displaystyle \left\lfloor log{2}W\right\rfloor +1} {\displaystyle \left\lfloor log{2}W\right\rfloor +1}$，即表达W所需的比特数，同问题的输入长度成线性关系。
0-1背包问题
类似的方法可以解决0-1背包问题，算法同样需要伪多项式时间。我们同样假定w1, …, wn和W都是正整数。我们将在总重量不超过Y的前提下，前j种物品的总价格所能达到的最高值定义为A(j, Y)。
A(j, Y)的递推关系为：
A(0, Y) = 0
如果wj > Y, A(j, Y) = A(j - 1, Y)
如果wj ≤ Y, A(j, Y) = max { A(j - 1, Y), pj + A(j - 1, Y - wj)}
通过计算A(n, W)即得到最终结果。为提高算法性能，我们把先前计算的结果存入表中。因此算法需要的时间和空间都为O(nW)，通过对算法的改进，空间的消耗可以降至O(W)。
二次背包问题
推广的背包问题有二次背包问题、多维背包问题、多目标背包问题等。
二次背包问题是背包问题的一种推广形式：
最大化
受限于
for all
1. 维基百科编者. 背包问题[G/OL]. 维基百科, 2019(20190330)[2019-03-30]. https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98&oldid=53793299. ↩
